12月で会社を自己都合で辞め、その後すぐ働いたのですが短期の仕事だったので１月～２月末までで終わりました。
１２月に辞めたとき雇用保険手続きの書類は一式もらってたのですがすぐ次が決まっていたのでハローワークへ手続きは一切していません。
それと、手続きをした後の流れってどのような感じなのでしょうか？？
例えば、求人検索だけでなく、色々なセミナーや他の事もしないといけないのかとか。それをしないと認定日にOKが出ないとかなど。。。
分かる範囲で色々教えて下さい
自己都合の場合ハローワークに手続きに行ってから３ヶ月後、つまり４ヶ月目の頭まで何もお金は入らないと言う事ですよね？？

みなさん間違ってます。
私も似たような経験があるのでアドバイスさせていただきます。
一日も早く前職の離職表を持ってハロワで失業給付の手続きをしてください。離職表の有効期限は１年間ですが手続きした日から初めての入金まで４ヶ月と１週間（１週間の待機期間と３ヶ月の給付制限期間があり、その後給付の対象になるので入金までにさらに１ヶ月）かかります。
手続き後は就職活動が３回以上必要となります。
実際に書類を会社に送ったとか面接を受けたとか、ハロワの窓口で相談員に就職の斡旋や相談をしたなどの活動が必要です。
派遣会社などの単なる登録や、新聞や雑誌などの求人欄の閲覧や、知人へ縁故を頼んだ、ハロワのPCでの検索だけでは認められません。（最近規定が変わって厳しくなったようです）
※追加ですが、１月～２月末まで収入があったとしても失業給付金が減ることはありえません。減る場合は失業給付の手続き後に収入があった場合ですので。

雇用保険、給付制限について

１年更新のパートとして勤めていました。

今年の３月末をもって契約は更新しないといわれました。

更新回数は１回です。（丸２年の勤務になります）
また、この会社に入社する際、当時の求人情報カードには

（ハローワークでプリントアウトしたもの）

特記事項として ＊更新あり

と書いてありました。（今も持っています）

特定受給資格者のⅡ（８）の

期間の定めのある労働契約の締結に際し当該労働契約が
更新されていることが明示された場合において当該労働契約が
更新されないこととなったことにより離職した者

に該当しますか？

それとも会社から更新しないと言われたけど

契約満了であるため一般受給資格者になってしまい、

３か月の給付制限となってしまうのでしょうか？

微妙なトコですね、求人情報カードは契約書ではありませんから、明示したことにはなりませんが、
更新回数は１回で丸２年の勤務になるのを、安定所がどう判断するかですね、安定所の判断次第です
普通ですと契約を何度か繰り返していれば次も更新すると思わせていると見ますが、１回だけの更新を貴方が行く安定所が反復した更新とみなすかどうかにかかっています
はっきりしたことが申し上げられず、ごめんなさい

3月末で会社都合により早期退職しました。
健康保険を任意継続するか、国民健康保険に切り替えるか調べていたところ、
非自発的失業者の国民健康保険料軽減措置がある事を知りました。
そこで、市役所に問い合わせてみたところ、
雇用保険被資格者証にある退職理由によっては、金額がかなり安くなるそうですが、
雇用保険被資格者証が手元に無いなら適応されるかまだわからないと言われました。

3.事業主からの働きかけによるもの
（3）希望退職の募集または退職勧奨
①事業の縮小または一部休廃止に伴う人員整理を行うためのもの

という理由ではこの措置を受ける資格はあるのでしょうか。
この理由は会社に問い合わせて聞いたものなので正確なものです。

知っている方がいらっしゃれるなら、是非知恵を貸してください。
よろしくお願いいたします。

あなたは会社都合による退職なので非自発的失業者に該当します｡ですから大丈夫です｡軽減されると思います

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