失業保険の件で質問です。自分はアルバイト形態で10年以上レンタル店で働いてましたがこの度、この仕事を辞めて正社員になれる仕事を探したいと思っています。現在、休職中でもあります。
ハローワークに何度も足を運んでいます。

今月で辞める場合、自分は雇用保険未加入でその場合失業保険もらえますか？

約1日8時間26〜27日出勤しています。

その辺りが疎いので出来るだけ詳しく教えていただければ嬉しいです

もちろん、ハローワークに今度いったときに聞いてみようとは思ってますが・・・

よろしくお願いします。

雇用保険未加入では失業給付金はでないでしょう。
ですが、ハローワークで尋ねてみてもよいと思います。
(会社にはもしかしたら迷惑がかかるかもしれませんが)

本来ならば、会社側はアルバイトでも貴方のような勤務時間の場合は、雇用保険加入手続きしなければならなかったと思います。
アルバイト始めたころは、週2日程度、月に80時間以下の労働時間とかだったのですか？

そして、アルバイトで休職中というのも違和感があります。
休職中も給与があり会社側は厚生年金や健康保険を支払っていたということでしょうか？
それでしたら、雇用形態はアルバイトではないような気がします。

いずれにしても失業給付金の申請には原則、離職票が必要となります。

再就職手当ての申請をする前に仕事を辞めた場合は、失業保険の残日数分はもらえるのですか？
ハローワークで就職の手続きをして、１週間働いたのですが、最初聞いていた条件と違うことが多く、残業もかなり多かったので、体調を崩し、仕事を辞めることになりました。再就職手当ての申請は、まだ事業所から申請の書類を書いてもらっていないので、申請をしていない状態なんですが、この場合は失業保険の残日数分はもらうことができるのでしょうか？どういった手続きが必要なのか、分かる方教えてください。お願いします。

初めの給付から1年以内であればもらえますよ。
ハローワークに再申請に行ってください。
雇用保険給付証と離職票あればOKと思います。

社員が取締役になりことになりました。
取締役になるということは退職扱いになると思うのですが
ハローワークの「喪失届」と「離職票」の手続きだけすればいいんでしょうか？

その取締役に就任された方の実態によります。
原則は取締役は雇用保険の被保険者にはなりません。

しかし「取締役総務部長」など使用人兼務役員の場合は被保険者になります。
「取締役総務部長」など使用人兼務役員で、かつ就業規則の適用状況や担当業務、
報酬の支払等の実態からみて労働者的性格が強く雇用関係が確認できる場合は被保険者となります。
この場合は「兼務役員雇用実態証明書」をハローワークに提出する必要があります。
この際に添付書類として
登記簿謄本、就業規則、給与規程、賃金台帳、出勤簿、労働者名簿、取締役会議事録などが必要です。

最終的には職安の判断になると思いますので
一度相談された方がよろしいかと思いますよ。

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